Pre-Board Examination 2026
Subject - Mathematics
Subject - Mathematics
प्रश्न 1. निम्नलिखित बहुविकल्पीय प्रश्न (i से xviii) के उत्तर देने के लिए सही विकल्प चुनें और उत्तर पुस्तिका में लिखें। (1 × 18 = 18)
(i) 400 के अभाज्य गुणनखण्डों की घातों का योग है
✔ सही उत्तर : 6
(ii) यदि 3, बहुपद 2x² + x + k का एक शून्यक है, तो k का मान होगा
✔ सही उत्तर : −21
(iii) यदि किसी दो अंकीय संख्या में इकाई अंक x तथा दहाई अंक y हो, तो वह संख्या होगी
✔ सही उत्तर : 10y + x
(iv) यदि △ABC ~ △DEF तथा AB = 10 सेमी, DE = 8 सेमी हो, तो BC : EF होगा
✔ सही उत्तर : 5 : 4
(v) बिन्दु P(−3, 4) की मूल बिन्दु O(0, 0) से दूरी है
✔ सही उत्तर : 5
(vi) cosec²45° − cot²45° का मान है
✔ सही उत्तर : 1
(vii) यदि किसी लम्बवत खम्भे की छाया उसकी ऊँचाई के बराबर हो, तो सूर्य का उन्नयन कोण होगा
✔ सही उत्तर : 45°
(viii) किसी बिन्दु P से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई 24 सेमी है तथा
P से केन्द्र की दूरी 25 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या होगी
✔ सही उत्तर : 7 सेमी
(ix) 7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल होगा
✔ सही उत्तर : 38.5 सेमी²
(x) यदि किसी शंकु की त्रिज्या 14 सेमी तथा तिर्यक ऊँचाई 10 सेमी हो,
तो शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा
✔ सही उत्तर : 440 सेमी²
(xi) निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
✔ सही उत्तर : 2
(xii) यदि दो परिमेय संख्याओं के लिए HCF = LCM हो, तो संख्याएँ होंगी
✔ सही उत्तर : बराबर
(xiii) यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग 5 तथा गुणनफल 6 हो,
तो बहुपद होगा
✔ सही उत्तर : x² − 5x + 6
(xiv) किस k के मान के लिए समीकरण युग्म
x + y − 4 = 0 तथा 2x + ky − 3 = 0 का कोई हल नहीं होगा?
✔ सही उत्तर : 2
(xv) दिए गए चित्र में, यदि BC = 3 सेमी हो, तो EF का मान होगा
✔ सही उत्तर : 4.5 सेमी
(xvi) sin 2A = 2 sin A सत्य होगा जब A का मान हो
✔ सही उत्तर : 0°
(xvii) यदि cos A = 12/13 हो, तो sin A का मान होगा
✔ सही उत्तर : 5/13
(xviii) घड़ी की मिनट सुई द्वारा 5 मिनट में केन्द्र पर बनाया गया कोण होगा
✔ सही उत्तर : 30°
Score: 0 / 18
प्रश्न 2. निम्नलिखित (i से vi) में रिक्त स्थान भरिए। (½ × 10 = 5)
(i) यदि 18, a, 10 एक समान्तर श्रेणी (Arithmetic Progression) में हैं, तो a = ______ ।
(ii) बिंदु P(7, −3) तथा बिंदु Q(3, 9) के मध्य बिंदु के निर्देशांक ______ हैं।
(iii) sin60° cosec60° + cos30° sec30° का मान ______ है।
(iv) यदि एक ठोस अर्द्धगोले (Solid Hemisphere) का व्यास 14 सेमी है, तो उसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ______ होगा।
(v) निम्नलिखित वितरण का बहुलक (Mode) 1, 4, 5, 6, 4, 7, 9, 2, 4, 3, 5 ______ है।
(vi) किसी भी वर्गांतर का वर्ग-चिह्न (Class Mark) 17 है। यदि उच्च वर्ग सीमा 24 है, तो निम्न वर्ग सीमा ______ होगी।
(i) यदि 18, a, 10 एक समान्तर श्रेणी (Arithmetic Progression) में हैं, तो a = ______ ।
(ii) बिंदु P(7, −3) तथा बिंदु Q(3, 9) के मध्य बिंदु के निर्देशांक ______ हैं।
(iii) sin60° cosec60° + cos30° sec30° का मान ______ है।
(iv) यदि एक ठोस अर्द्धगोले (Solid Hemisphere) का व्यास 14 सेमी है, तो उसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ______ होगा।
(v) निम्नलिखित वितरण का बहुलक (Mode) 1, 4, 5, 6, 4, 7, 9, 2, 4, 3, 5 ______ है।
(vi) किसी भी वर्गांतर का वर्ग-चिह्न (Class Mark) 17 है। यदि उच्च वर्ग सीमा 24 है, तो निम्न वर्ग सीमा ______ होगी।
प्रश्न 3. अति लघु उत्तरीय प्रश्न – (i से xii)
(i) यदि किसी वृत्त की त्रिज्या 14 सेमी है और चाप की लंबाई 12 सेमी है, तो केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि किसी घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 864 वर्ग सेमी है, तो उसके एक फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(iii) निम्नलिखित आवृत्ति वितरण का माध्यिका ज्ञात कीजिए।
(iv) एक पासे को एक बार फेंकने पर 5 से अधिक संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(v) एक समवृत्त शंकु तथा एक बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई समान हैं। यदि शंकु का आयतन 66 घन सेमी है, तो बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
(vi) निम्नलिखित आँकड़ों का माध्यिका ज्ञात कीजिए: 19, 17, 25, 27, 18, 20, 29
(vii) दो खिलाड़ी राम और श्याम शतरंज का एक मैच खेलते हैं। यह दिया गया है कि राम के मैच जीतने की प्रायिकता 4/5 है। श्याम के मैच जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(viii) 2 सेमी भुजा वाले दो घनों के संलग्न फलकों को जोड़कर एक ठोस घनाभ बनाया जाता है। बने हुए घनाभ का आयतन ज्ञात कीजिए।
(ix) प्रथम दस धनात्मक विषम प्राकृतिक संख्याओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात कीजिए।
(x) एक थैले में 6 लाल तथा 7 सफेद गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। सफेद गेंद निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(xi) यदि एक ठोस अर्द्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 50π वर्ग सेमी है, तो उस अर्द्धगोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
(xii) यदि 5, 7, 9, 4, 3, (x + 2) का अंकगणितीय माध्य 6 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
(i) यदि किसी वृत्त की त्रिज्या 14 सेमी है और चाप की लंबाई 12 सेमी है, तो केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि किसी घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 864 वर्ग सेमी है, तो उसके एक फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(iii) निम्नलिखित आवृत्ति वितरण का माध्यिका ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | आवृत्ति |
|---|---|
| 0 – 10 | 3 |
| 10 – 20 | 7 |
| 20 – 30 | 5 |
| 30 – 40 | 6 |
(iv) एक पासे को एक बार फेंकने पर 5 से अधिक संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(v) एक समवृत्त शंकु तथा एक बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई समान हैं। यदि शंकु का आयतन 66 घन सेमी है, तो बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
(vi) निम्नलिखित आँकड़ों का माध्यिका ज्ञात कीजिए: 19, 17, 25, 27, 18, 20, 29
(vii) दो खिलाड़ी राम और श्याम शतरंज का एक मैच खेलते हैं। यह दिया गया है कि राम के मैच जीतने की प्रायिकता 4/5 है। श्याम के मैच जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(viii) 2 सेमी भुजा वाले दो घनों के संलग्न फलकों को जोड़कर एक ठोस घनाभ बनाया जाता है। बने हुए घनाभ का आयतन ज्ञात कीजिए।
(ix) प्रथम दस धनात्मक विषम प्राकृतिक संख्याओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात कीजिए।
(x) एक थैले में 6 लाल तथा 7 सफेद गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। सफेद गेंद निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(xi) यदि एक ठोस अर्द्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 50π वर्ग सेमी है, तो उस अर्द्धगोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
(xii) यदि 5, 7, 9, 4, 3, (x + 2) का अंकगणितीय माध्य 6 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 4. 12, 15 तथा 21 का महत्तम समापवर्तक (HCF) और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
हल:
12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
HCF समान अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घातों का गुणनफल होता है।
HCF = 3
LCM सभी अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घातों का गुणनफल होता है।
LCM = 2² × 3 × 5 × 7 = 420
∴ HCF = 3 तथा LCM = 420।
12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
HCF समान अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घातों का गुणनफल होता है।
HCF = 3
LCM सभी अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घातों का गुणनफल होता है।
LCM = 2² × 3 × 5 × 7 = 420
∴ HCF = 3 तथा LCM = 420।
प्रश्न 5. यदि α और β द्विघात बहुपद
3x² − 5x + 9 के शून्यक हैं, तो (α + β) तथा αβ ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया द्विघात बहुपद है:
3x² − 5x + 9
यहाँ, a = 3, b = −5, c = 9
शून्यकों का योग = α + β = −b/a
= −(−5)/3
= 5/3
शून्यकों का गुणनफल = αβ = c/a
= 9/3
= 3
∴ (α + β) = 5/3 तथा αβ = 3।
दिया गया द्विघात बहुपद है:
3x² − 5x + 9
यहाँ, a = 3, b = −5, c = 9
शून्यकों का योग = α + β = −b/a
= −(−5)/3
= 5/3
शून्यकों का गुणनफल = αβ = c/a
= 9/3
= 3
∴ (α + β) = 5/3 तथा αβ = 3।
प्रश्न 6. निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि द्वारा हल कीजिए:
3x + 5y = 7
6x + y = −4
हल:
3x + 5y = 7 …(1)
6x + y = −4 …(2)
समीकरण (2) को 5 से गुणा करने पर:
30x + 5y = −20 …(3)
समीकरण (3) में से समीकरण (1) घटाने पर:
(30x + 5y) − (3x + 5y) = −20 − 7
27x = −27
x = −1
x = −1 का मान समीकरण (1) में रखने पर:
3(−1) + 5y = 7
−3 + 5y = 7
5y = 10
y = 2
∴ हल है: x = −1, y = 2।
3x + 5y = 7 …(1)
6x + y = −4 …(2)
समीकरण (2) को 5 से गुणा करने पर:
30x + 5y = −20 …(3)
समीकरण (3) में से समीकरण (1) घटाने पर:
(30x + 5y) − (3x + 5y) = −20 − 7
27x = −27
x = −1
x = −1 का मान समीकरण (1) में रखने पर:
3(−1) + 5y = 7
−3 + 5y = 7
5y = 10
y = 2
∴ हल है: x = −1, y = 2।
प्रश्न 7. समान्तर श्रेणी
7, 13, 19, . . . , 205 में पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गई समान्तर श्रेणी है: 7, 13, 19, . . . , 205
प्रथम पद, a = 7
सामान्य अंतर, d = 13 − 7 = 6
अंतिम पद, l = 205
सूत्र का प्रयोग करते हैं:
l = a + (n − 1)d
205 = 7 + (n − 1) × 6
205 − 7 = 6(n − 1)
198 = 6(n − 1)
n − 1 = 33
n = 34
∴ पदों की संख्या 34 है।
दी गई समान्तर श्रेणी है: 7, 13, 19, . . . , 205
प्रथम पद, a = 7
सामान्य अंतर, d = 13 − 7 = 6
अंतिम पद, l = 205
सूत्र का प्रयोग करते हैं:
l = a + (n − 1)d
205 = 7 + (n − 1) × 6
205 − 7 = 6(n − 1)
198 = 6(n − 1)
n − 1 = 33
n = 34
∴ पदों की संख्या 34 है।
प्रश्न 8. दिए गए चित्र में, DE ∥ BC है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि DE ∥ BC है, अतः आधार समानुपात प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) के अनुसार:
AD / DB = AE / EC
चित्र से:
AD = (x + 2), DB = 6
AE = 4, EC = 8
(x + 2) / 6 = 4 / 8
(x + 2) / 6 = 1 / 2
क्रॉस गुणा करने पर:
2(x + 2) = 6
x + 2 = 3
x = 1
∴ x का मान 1 है।
चूँकि DE ∥ BC है, अतः आधार समानुपात प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) के अनुसार:
AD / DB = AE / EC
चित्र से:
AD = (x + 2), DB = 6
AE = 4, EC = 8
(x + 2) / 6 = 4 / 8
(x + 2) / 6 = 1 / 2
क्रॉस गुणा करने पर:
2(x + 2) = 6
x + 2 = 3
x = 1
∴ x का मान 1 है।
प्रश्न 9. किस अनुपात में x-अक्ष उस रेखा खंड को विभाजित करता है जो बिंदुओं
(5, 3) और (−3, −2) को जोड़ता है?
हल:
मान लें कि बिंदु P रेखा खंड A(5, 3) और B(−3, −2) को m : n अनुपात में विभाजित करता है।
चूँकि P x-अक्ष पर स्थित है, इसका y-निर्देशांक 0 है।
खंड सूत्र (Section Formula) का प्रयोग करें:
P का y-निर्देशांक = (m y₂ + n y₁) / (m + n)
0 = (m × (−2) + n × 3) / (m + n)
−2m + 3n = 0
2m = 3n
m : n = 3 : 2
∴ x-अक्ष रेखा खंड को 3 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।
मान लें कि बिंदु P रेखा खंड A(5, 3) और B(−3, −2) को m : n अनुपात में विभाजित करता है।
चूँकि P x-अक्ष पर स्थित है, इसका y-निर्देशांक 0 है।
खंड सूत्र (Section Formula) का प्रयोग करें:
P का y-निर्देशांक = (m y₂ + n y₁) / (m + n)
0 = (m × (−2) + n × 3) / (m + n)
−2m + 3n = 0
2m = 3n
m : n = 3 : 2
∴ x-अक्ष रेखा खंड को 3 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।
प्रश्न 10. 4cot²45° − sec²60° + sin²60° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
हमें ज्ञात है:
cot45° = 1
sec60° = 2
sin60° = √3/2
मानों को स्थानापन्न करने पर:
4cot²45° − sec²60° + sin²60°
= 4(1)² − (2)² + (√3/2)²
= 4 − 4 + 3/4
= 3/4
∴ अपेक्षित मान 3/4 है।
हमें ज्ञात है:
cot45° = 1
sec60° = 2
sin60° = √3/2
मानों को स्थानापन्न करने पर:
4cot²45° − sec²60° + sin²60°
= 4(1)² − (2)² + (√3/2)²
= 4 − 4 + 3/4
= 3/4
∴ अपेक्षित मान 3/4 है।
प्रश्न 11. 12 मीटर लंबी सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार के शीर्ष को छूती है।
यदि यह सीढ़ी दीवार के साथ 60° कोण बनाती है, तो दीवार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लें कि दीवार की ऊँचाई h मीटर है।
दिया गया:
सीढ़ी की लंबाई = 12 m
सीढ़ी और दीवार के बीच कोण = 60°
समकोण त्रिभुज में:
cos 60° = दीवार की ऊँचाई / सीढ़ी की लंबाई
cos 60° = h / 12
1/2 = h / 12
h = 12 × 1/2
h = 6 m
∴ दीवार की ऊँचाई 6 मीटर है।
मान लें कि दीवार की ऊँचाई h मीटर है।
दिया गया:
सीढ़ी की लंबाई = 12 m
सीढ़ी और दीवार के बीच कोण = 60°
समकोण त्रिभुज में:
cos 60° = दीवार की ऊँचाई / सीढ़ी की लंबाई
cos 60° = h / 12
1/2 = h / 12
h = 12 × 1/2
h = 6 m
∴ दीवार की ऊँचाई 6 मीटर है।
प्रश्न 12. एक चतुर्भुज ABCD को एक वृत्त को परिमित करने के लिए बनाया गया है।
सिद्ध कीजिए कि AB + CD = AD + BC।
हल:
दिया गया: चतुर्भुज ABCD एक वृत्त को परिमित करता है और यह वृत्त AB, BC, CD और DA को क्रमशः P, Q, R और S बिंदुओं पर स्पर्श करता है।
बाहरी बिंदु से स्पर्शरेखाओं के गुणधर्म के अनुसार:
AP = AS
BP = BQ
CQ = CR
DR = DS
अब,
AB = AP + PB
BC = BQ + QC
CD = CR + RD
AD = AS + SD
AB और CD जोड़ने पर:
AB + CD = (AP + PB) + (CR + RD)
= (AS + BQ) + (CQ + DS)
= (AS + SD) + (BQ + QC)
= AD + BC
∴ AB + CD = AD + BC.
अतः सिद्ध।
दिया गया: चतुर्भुज ABCD एक वृत्त को परिमित करता है और यह वृत्त AB, BC, CD और DA को क्रमशः P, Q, R और S बिंदुओं पर स्पर्श करता है।
बाहरी बिंदु से स्पर्शरेखाओं के गुणधर्म के अनुसार:
AP = AS
BP = BQ
CQ = CR
DR = DS
अब,
AB = AP + PB
BC = BQ + QC
CD = CR + RD
AD = AS + SD
AB और CD जोड़ने पर:
AB + CD = (AP + PB) + (CR + RD)
= (AS + BQ) + (CQ + DS)
= (AS + SD) + (BQ + QC)
= AD + BC
∴ AB + CD = AD + BC.
अतः सिद्ध।
प्रश्न 13. किसी वृत्त की चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण 50° है।
यदि चाप की लंबाई 5π सेमी है, तो उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
दीया गया:
केंद्र पर अंतरित कोण, θ = 50°
चाप की लंबाई, l = 5π सेमी
हमें ज्ञात है कि:
l = (θ / 360°) × 2πr
मानों को स्थानापन्न करें:
5π = (50 / 360) × 2πr
5π = (5 / 18) × πr
दोनों तरफ़ से π रद्द करें:
5 = 5r / 18
r = 18 सेमी
∴ वृत्त की त्रिज्या 18 सेमी है।
दीया गया:
केंद्र पर अंतरित कोण, θ = 50°
चाप की लंबाई, l = 5π सेमी
हमें ज्ञात है कि:
l = (θ / 360°) × 2πr
मानों को स्थानापन्न करें:
5π = (50 / 360) × 2πr
5π = (5 / 18) × πr
दोनों तरफ़ से π रद्द करें:
5 = 5r / 18
r = 18 सेमी
∴ वृत्त की त्रिज्या 18 सेमी है।
प्रश्न 14. पहले 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए,
जिसकी समान्तर श्रेणी का nth पद an = 3 + 2n है।
या
एक समान्तर श्रेणी में 60 पद हैं। यदि इसका पहला और अंतिम पद क्रमशः 7 और 125 हैं, तो 32वां पद ज्ञात कीजिए।
या
एक समान्तर श्रेणी में 60 पद हैं। यदि इसका पहला और अंतिम पद क्रमशः 7 और 125 हैं, तो 32वां पद ज्ञात कीजिए।
हल (पहला भाग):
दीया गया:
an = 3 + 2n
n = 1 के लिए, a = 3 + 2(1) = 5
सामान्य अंतर: d = a2 − a1 = (3 + 4) − (3 + 2) = 2
पदों की संख्या, n = 15
Sn = n/2 [2a + (n − 1)d] (समान्तर श्रेणी का योग सूत्र)
S15 = 15/2 [2×5 + (15 − 1)×2]
= 15/2 [10 + 28]
= 15/2 × 38
= 285
∴ पहले 15 पदों का योग 285 है।
दीया गया:
an = 3 + 2n
n = 1 के लिए, a = 3 + 2(1) = 5
सामान्य अंतर: d = a2 − a1 = (3 + 4) − (3 + 2) = 2
पदों की संख्या, n = 15
Sn = n/2 [2a + (n − 1)d] (समान्तर श्रेणी का योग सूत्र)
S15 = 15/2 [2×5 + (15 − 1)×2]
= 15/2 [10 + 28]
= 15/2 × 38
= 285
∴ पहले 15 पदों का योग 285 है।
प्रश्न 15. उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो रेखा खंड
(4, 0) और (0, −8) को 4 समान भागों में विभाजित करते हैं।
या
उस बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है, जिसका केंद्र (2, −3) है और B का निर्देशांक (1, 4) है।
या
उस बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है, जिसका केंद्र (2, −3) है और B का निर्देशांक (1, 4) है।
हल (पहला भाग):
मान लें A(4, 0) और B(0, −8)।
ये बिंदु AB को आंतरिक रूप से 1:3, 2:2 और 3:1 अनुपातों में विभाजित करते हैं।
खंड सूत्र का प्रयोग करें:
पहला बिंदु P, अनुपात 1 : 3 में AB को विभाजित करता है
P = ((1×0 + 3×4)/4 , (1×(−8) + 3×0)/4)
P = (3, −2)
दूसरा बिंदु Q, अनुपात 2 : 2 में AB को विभाजित करता है
Q = ((2×0 + 2×4)/4 , (2×(−8) + 2×0)/4)
Q = (2, −4)
तीसरा बिंदु R, अनुपात 3 : 1 में AB को विभाजित करता है
R = ((3×0 + 1×4)/4 , (3×(−8) + 1×0)/4)
R = (1, −6)
∴ आवश्यक बिंदु हैं: (3, −2), (2, −4), (1, −6)।
मान लें A(4, 0) और B(0, −8)।
ये बिंदु AB को आंतरिक रूप से 1:3, 2:2 और 3:1 अनुपातों में विभाजित करते हैं।
खंड सूत्र का प्रयोग करें:
पहला बिंदु P, अनुपात 1 : 3 में AB को विभाजित करता है
P = ((1×0 + 3×4)/4 , (1×(−8) + 3×0)/4)
P = (3, −2)
दूसरा बिंदु Q, अनुपात 2 : 2 में AB को विभाजित करता है
Q = ((2×0 + 2×4)/4 , (2×(−8) + 2×0)/4)
Q = (2, −4)
तीसरा बिंदु R, अनुपात 3 : 1 में AB को विभाजित करता है
R = ((3×0 + 1×4)/4 , (3×(−8) + 1×0)/4)
R = (1, −6)
∴ आवश्यक बिंदु हैं: (3, −2), (2, −4), (1, −6)।
प्रश्न 16. सिद्ध कीजिए कि दो समकेंद्रित वृत्तों में, बड़े वृत्त का वह स्पर्शरेखा,
जो छोटे वृत्त को छूती है, स्पर्श बिंदु पर मध्यमान से विभाजित होती है।
या
सिद्ध कीजिए कि किसी बाहरी बिंदु से वृत्त को खींची गई स्पर्शरेखाओं की लंबाई समान होती है।
या
सिद्ध कीजिए कि किसी बाहरी बिंदु से वृत्त को खींची गई स्पर्शरेखाओं की लंबाई समान होती है।
हल (पहला भाग):
मान लें दो समकेंद्रित वृत्तों का केंद्र O है।
मान लें AB बड़े वृत्त का एक स्पर्शरेखा है, जो छोटे वृत्त को P बिंदु पर छूती है।
OP जोड़ें।
चूँकि OP छोटे वृत्त की त्रिज्या है और AB इसे P पर स्पर्श करता है,
अतः OP ⟂ AB है।
किसी भी वृत्त के केंद्र से खींची गई लम्ब रेखा स्पर्शरेखा को मध्य में विभाजित करती है।
अतः OP, AB को P बिंदु पर मध्यमान से विभाजित करता है।
∴ बड़े वृत्त की स्पर्शरेखा स्पर्श बिंदु पर विभाजित होती है।
सिद्ध।
मान लें दो समकेंद्रित वृत्तों का केंद्र O है।
मान लें AB बड़े वृत्त का एक स्पर्शरेखा है, जो छोटे वृत्त को P बिंदु पर छूती है।
OP जोड़ें।
चूँकि OP छोटे वृत्त की त्रिज्या है और AB इसे P पर स्पर्श करता है,
अतः OP ⟂ AB है।
किसी भी वृत्त के केंद्र से खींची गई लम्ब रेखा स्पर्शरेखा को मध्य में विभाजित करती है।
अतः OP, AB को P बिंदु पर मध्यमान से विभाजित करता है।
∴ बड़े वृत्त की स्पर्शरेखा स्पर्श बिंदु पर विभाजित होती है।
सिद्ध।
प्रश्न 17. निम्नलिखित आवृत्ति वितरण का माध्य (Mean) ज्ञात कीजिए।
या
यदि निम्नलिखित वितरण का माध्य 7 है, तो P का मान ज्ञात कीजिए।
| x | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f | 5 | 8 | 9 | 12 | 6 | 6 | 4 |
या
यदि निम्नलिखित वितरण का माध्य 7 है, तो P का मान ज्ञात कीजिए।
| x | 2 | 5 | P | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| f | 1 | 5 | 4 | 7 | 3 |
हल (पहला भाग):
माध्य (Mean) = Σfx / Σf
Mean = 390 / 50 = 7.8
माध्य (Mean) = Σfx / Σf
| x | f | fx |
|---|---|---|
| 5 | 5 | 25 |
| 6 | 8 | 48 |
| 7 | 9 | 63 |
| 8 | 12 | 96 |
| 9 | 6 | 54 |
| 10 | 6 | 60 |
| 11 | 4 | 44 |
| कुल | 50 | 390 |
Mean = 390 / 50 = 7.8
हल (दूसरा भाग):
Mean = 7
Σf = 1 + 5 + 4 + 7 + 3 = 20
Σfx = (2×1) + (5×5) + (P×4) + (9×7) + (10×3)
= 2 + 25 + 4P + 63 + 30
= 120 + 4P
Mean = Σfx / Σf
7 = (120 + 4P) / 20
140 = 120 + 4P
4P = 20
P = 5
∴ P का मान 5 है।
Mean = 7
Σf = 1 + 5 + 4 + 7 + 3 = 20
Σfx = (2×1) + (5×5) + (P×4) + (9×7) + (10×3)
= 2 + 25 + 4P + 63 + 30
= 120 + 4P
Mean = Σfx / Σf
7 = (120 + 4P) / 20
140 = 120 + 4P
4P = 20
P = 5
∴ P का मान 5 है।
प्रश्न 18. दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है।
छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है।
दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
या
दो लगातार धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए, जिनके वर्गों का योग 365 है।
या
दो लगातार धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए, जिनके वर्गों का योग 365 है।
हल (पहला भाग):
मान लें बड़ी संख्या x और छोटी संख्या y है।
x² − y² = 180 …(1)
y² = 8x …(2)
(2) को (1) में स्थानापन्न करें:
x² − 8x = 180
x² − 8x − 180 = 0
x² − 18x + 10x − 180 = 0
x(x − 18) + 10(x − 18) = 0
(x − 18)(x + 10) = 0
x = 18 (−10 को अस्वीकार करें)
(2) से: y² = 8×18 = 144
y = 12
∴ दोनों संख्याएँ 18 और 12 हैं।
मान लें बड़ी संख्या x और छोटी संख्या y है।
x² − y² = 180 …(1)
y² = 8x …(2)
(2) को (1) में स्थानापन्न करें:
x² − 8x = 180
x² − 8x − 180 = 0
x² − 18x + 10x − 180 = 0
x(x − 18) + 10(x − 18) = 0
(x − 18)(x + 10) = 0
x = 18 (−10 को अस्वीकार करें)
(2) से: y² = 8×18 = 144
y = 12
∴ दोनों संख्याएँ 18 और 12 हैं।
हल (दूसरा भाग):
मान लें दो लगातार धनात्मक पूर्णांक x और x + 1 हैं।
x² + (x + 1)² = 365
x² + x² + 2x + 1 = 365
2x² + 2x − 364 = 0
x² + x − 182 = 0
x² + 14x − 13x − 182 = 0
x(x + 14) − 13(x + 14) = 0
(x − 13)(x + 14) = 0
x = 13 (−14 को अस्वीकार करें)
∴ दो लगातार पूर्णांक 13 और 14 हैं।
मान लें दो लगातार धनात्मक पूर्णांक x और x + 1 हैं।
x² + (x + 1)² = 365
x² + x² + 2x + 1 = 365
2x² + 2x − 364 = 0
x² + x − 182 = 0
x² + 14x − 13x − 182 = 0
x(x + 14) − 13(x + 14) = 0
(x − 13)(x + 14) = 0
x = 13 (−14 को अस्वीकार करें)
∴ दो लगातार पूर्णांक 13 और 14 हैं।
प्रश्न 19. सिद्ध कीजिए:
1/(1 + sinθ) + 1/(1 − sinθ) = 2sec²θ
या
सिद्ध कीजिए:
sin²θ cosθ + cos³θ + tanθ sinθ = secθ
1/(1 + sinθ) + 1/(1 − sinθ) = 2sec²θ
या
सिद्ध कीजिए:
sin²θ cosθ + cos³θ + tanθ sinθ = secθ
हल (पहला भाग):
LHS = 1/(1 + sinθ) + 1/(1 − sinθ)
LCM लेकर:
= (1 − sinθ + 1 + sinθ) / (1 − sin²θ)
= 2 / cos²θ
= 2sec²θ
∴ LHS = RHS
LHS = 1/(1 + sinθ) + 1/(1 − sinθ)
LCM लेकर:
= (1 − sinθ + 1 + sinθ) / (1 − sin²θ)
= 2 / cos²θ
= 2sec²θ
∴ LHS = RHS
हल (दूसरा भाग):
LHS = sin²θ cosθ + cos³θ + tanθ sinθ
= cosθ(sin²θ + cos²θ) + (sinθ/cosθ) sinθ
= cosθ(1) + sin²θ/cosθ
= cosθ + (1 − cos²θ)/cosθ
= cosθ + 1/cosθ − cosθ
= secθ
∴ LHS = RHS
LHS = sin²θ cosθ + cos³θ + tanθ sinθ
= cosθ(sin²θ + cos²θ) + (sinθ/cosθ) sinθ
= cosθ(1) + sin²θ/cosθ
= cosθ + (1 − cos²θ)/cosθ
= cosθ + 1/cosθ − cosθ
= secθ
∴ LHS = RHS
प्रश्न 20. निम्नलिखित आवृत्ति वितरण का माध्य (Median) ज्ञात कीजिए।
या
निम्नलिखित आवृत्ति वितरण का बहुलक (Mode) ज्ञात कीजिए।
| Class | 7–17 | 17–27 | 27–37 | 37–47 | 47–57 | 57–67 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Frequency | 22 | 18 | 20 | 12 | 15 | 13 |
या
निम्नलिखित आवृत्ति वितरण का बहुलक (Mode) ज्ञात कीजिए।
| Class | 2–11 | 11–20 | 20–29 | 29–38 | 38–47 |
|---|---|---|---|---|---|
| Frequency | 15 | 16 | 17 | 12 | 11 |
हल (Median):
कुल आवृत्ति (N) = 22 + 18 + 20 + 12 + 15 + 13 = 100
N/2 = 50
संचयी आवृत्तियाँ (C.F.):
Median class = 27–37
l = 27, h = 10, f = 20, c.f. = 40
Median = l + [(N/2 − c.f.)/f] × h
= 27 + [(50 − 40)/20] × 10
= 27 + 5
= 32
कुल आवृत्ति (N) = 22 + 18 + 20 + 12 + 15 + 13 = 100
N/2 = 50
संचयी आवृत्तियाँ (C.F.):
| Class | Frequency | C.F. |
|---|---|---|
| 7–17 | 22 | 22 |
| 17–27 | 18 | 40 |
| 27–37 | 20 | 60 |
| 37–47 | 12 | 72 |
| 47–57 | 15 | 87 |
| 57–67 | 13 | 100 |
Median class = 27–37
l = 27, h = 10, f = 20, c.f. = 40
Median = l + [(N/2 − c.f.)/f] × h
= 27 + [(50 − 40)/20] × 10
= 27 + 5
= 32