Pre-Board Examination 2026
Subject - Mathematics
Subject - Mathematics
प्रश्न 1. निम्नलिखित बहुविकल्पीय प्रश्न (i से xviii) के उत्तर देने के लिए सही विकल्प चुनें और उत्तर पुस्तिका में लिखें। (1 × 18 = 18)
(i) 400 के अभाज्य गुणनखण्डों के घातों का योग है –
✔ सही उत्तर : 6
(ii) 72 और 120 का HCF है –
✔ सही उत्तर : 12
(iii) यदि α और β, द्विघात बहुपद 4x² − 6x + 7 के शून्यक हैं, तो (α + β) का मान है –
✔ सही उत्तर : 3/2
(iv) k का वह मान क्या है, जिसके लिए समीकरणों के युग्म
2x + 3y = 4 और 6x + ky = 3 का कोई हल न हो?
✔ सही उत्तर : 6
(v) दी गई A.P. −11, −6, −1, 4, … का सार्व अंतर है –
✔ सही उत्तर : −5
(vi) प्रथम n सम प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र है –
✔ सही उत्तर : n(n+1)
(vii) यदि ΔABC ∼ ΔDEF तथा AB = 12 सेमी, DE = 8 सेमी, BC = 4 सेमी हो, तो EF का मान है –
✔ सही उत्तर : 8/3 सेमी
(viii) बिन्दु A(2, −4) तथा B(6, −2) के मध्य बिन्दु के निर्देशांक हैं –
✔ सही उत्तर : (4, −3)
(ix) यदि cos A = 7/25 हो, तो tan A का मान है –
✔ सही उत्तर : 24/7
(x) 10 मीटर ऊँचे टॉवर के शीर्ष से पृथ्वी पर स्थित एक बिन्दु का अवनमन कोण 60° है।
टॉवर के आधार से उस बिन्दु की दूरी है –
✔ सही उत्तर : 10/√3 मीटर
(xi) वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ होती हैं –
✔ सही उत्तर : परस्पर लम्बवत
(xii) 24 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त पर P बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा PQ,
केन्द्र O से जाने वाली रेखा को Q पर इस प्रकार काटती है कि OQ = 25 सेमी।
PQ की लंबाई है –
✔ सही उत्तर : 7 सेमी
(xiii) यदि चाप की लंबाई 44 सेमी तथा कोण 90° हो, तो त्रिज्या है –
✔ सही उत्तर : 7 सेमी
(xiv) अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है –
✔ सही उत्तर : 3πr²
(xv) यदि किसी घन का आयतन 64 सेमी³ है, तो घन की भुजा है –
✔ सही उत्तर : 4 सेमी
(xvi) निम्नलिखित आँकड़ों का माध्य है –
4, 6, 5, 9, 8, 6, 7, 9, 4, 2
✔ सही उत्तर : 6
(xvii) बहुलक (x), माध्य (z) तथा माध्यिका (y) के बीच संबंध है –
✔ सही उत्तर : x − y = 3(z − y)
(xviii) निम्न में से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
✔ सही उत्तर : 5/2
Score: 0 / 18
प्रश्न–2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए— (½ × 10 = 5)
(i) द्विघात समीकरण के मूल बराबर होते हैं यदि k x² − 4√3 x + 4 = 0 में k = __________ ।
(ii) प्रथम पद −7 तथा सार्व अंतर −2 हो, तो A.P. का 10वाँ पद __________ है।
(iii) 2 tan² 45° का मान __________ होगा।
(iv) यदि किसी त्रिभुज में एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो उस भुजा के सामने का कोण __________ होता है।
(v) वह रेखा जो किसी वृत्त को केवल एक ही बिन्दु पर स्पर्श करती है, वृत्त की __________ कहलाती है।
(vi) 52 पत्तों की ताश की गड्डी से एक पत्ता निकाला गया। उसके चित्र वाला पत्ता होने की प्रायिकता __________ है।
(i) द्विघात समीकरण के मूल बराबर होते हैं यदि k x² − 4√3 x + 4 = 0 में k = __________ ।
(ii) प्रथम पद −7 तथा सार्व अंतर −2 हो, तो A.P. का 10वाँ पद __________ है।
(iii) 2 tan² 45° का मान __________ होगा।
(iv) यदि किसी त्रिभुज में एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो उस भुजा के सामने का कोण __________ होता है।
(v) वह रेखा जो किसी वृत्त को केवल एक ही बिन्दु पर स्पर्श करती है, वृत्त की __________ कहलाती है।
(vi) 52 पत्तों की ताश की गड्डी से एक पत्ता निकाला गया। उसके चित्र वाला पत्ता होने की प्रायिकता __________ है।
प्रश्न–3. अति लघुत्तरात्मक प्रश्न— (1 × 9 = 9)
(i) 300 और 360 संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए।
(ii) 336 को उसके अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
(iii) ऐसा द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग 5 तथा गुणनफल 2 हो।
(iv) 5 पेंसिल और 7 पेन मिलकर 50 रुपये के हैं। इस समस्या को रैखिक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए।
(v) A.P. 7, 11, 15 …… का प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए।
(vi) बिन्दुओं (5, 3) तथा (8, 1) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
(vii) ∆ABC में, B पर समकोण है, AB = 3 सेमी, BC = 4 सेमी। Sin A तथा Cos C ज्ञात कीजिए।
(viii) यदि किसी वृत्त पर केन्द्र O से बाहर स्थित बिन्दु P से खींची गई स्पर्श रेखाएँ PA और PB आपस में 80° का कोण बनाती हैं, तो ∠POA ज्ञात कीजिए।
(ix) 20 मिनट में घड़ी की मिनट सुई द्वारा केन्द्र पर बनाया गया कोण ज्ञात कीजिए।
(x) 3.5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए, यदि कोण 60° हो।
(xi) निम्नलिखित वितरण की माध्यिका तथा बहुलक ज्ञात कीजिए – 1, 6, 3, 5, 7, 9, 11, 4, 9
(xii) x, x + 2 तथा x + 4 का माध्य ज्ञात कीजिए।
(i) 300 और 360 संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए।
(ii) 336 को उसके अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
(iii) ऐसा द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग 5 तथा गुणनफल 2 हो।
(iv) 5 पेंसिल और 7 पेन मिलकर 50 रुपये के हैं। इस समस्या को रैखिक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए।
(v) A.P. 7, 11, 15 …… का प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए।
(vi) बिन्दुओं (5, 3) तथा (8, 1) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
(vii) ∆ABC में, B पर समकोण है, AB = 3 सेमी, BC = 4 सेमी। Sin A तथा Cos C ज्ञात कीजिए।
(viii) यदि किसी वृत्त पर केन्द्र O से बाहर स्थित बिन्दु P से खींची गई स्पर्श रेखाएँ PA और PB आपस में 80° का कोण बनाती हैं, तो ∠POA ज्ञात कीजिए।
(ix) 20 मिनट में घड़ी की मिनट सुई द्वारा केन्द्र पर बनाया गया कोण ज्ञात कीजिए।
(x) 3.5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए, यदि कोण 60° हो।
(xi) निम्नलिखित वितरण की माध्यिका तथा बहुलक ज्ञात कीजिए – 1, 6, 3, 5, 7, 9, 11, 4, 9
(xii) x, x + 2 तथा x + 4 का माध्य ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 4. द्विघात बहुपद x² + 7x + 10 के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा
शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच कीजिए।
हल:
दिया गया बहुपद: x² + 7x + 10
x² + 7x + 10 = 0
⇒ (x + 5)(x + 2) = 0
∴ x = −5, −2
शून्यक हैं α = −5, β = −2
शून्यकों का योग = α + β = −5 + (−2) = −7
= −b/a = −7/1 = −7 ✔
शून्यकों का गुणनफल = αβ = (−5)(−2) = 10
= c/a = 10/1 = 10 ✔
अतः शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध सत्यापित होता है।
दिया गया बहुपद: x² + 7x + 10
x² + 7x + 10 = 0
⇒ (x + 5)(x + 2) = 0
∴ x = −5, −2
शून्यक हैं α = −5, β = −2
शून्यकों का योग = α + β = −5 + (−2) = −7
= −b/a = −7/1 = −7 ✔
शून्यकों का गुणनफल = αβ = (−5)(−2) = 10
= c/a = 10/1 = 10 ✔
अतः शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध सत्यापित होता है।
प्रश्न 5. समीकरणों के युग्म को हल कीजिए :
x − y = −1 तथा 3x + 2y = 12
हल:
x − y = −1 …(1)
3x + 2y = 12 …(2)
(1) से: x = y − 1
इसे (2) में रखने पर:
3(y − 1) + 2y = 12
3y − 3 + 2y = 12
5y = 15
y = 3
x = 3 − 1 = 2
∴ हल है x = 2, y = 3।
x − y = −1 …(1)
3x + 2y = 12 …(2)
(1) से: x = y − 1
इसे (2) में रखने पर:
3(y − 1) + 2y = 12
3y − 3 + 2y = 12
5y = 15
y = 3
x = 3 − 1 = 2
∴ हल है x = 2, y = 3।
प्रश्न 6. उस A.P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए,
जिसका 11वाँ पद 38 तथा 16वाँ पद 73 है।
हल:
a₁₁ = a + 10d = 38 …(1)
a₁₆ = a + 15d = 73 …(2)
(2) − (1):
5d = 35 ⇒ d = 7
(1) से:
a + 10×7 = 38
a = −32
a₃₁ = a + 30d = −32 + 30×7 = 178
∴ 31वाँ पद = 178।
a₁₁ = a + 10d = 38 …(1)
a₁₆ = a + 15d = 73 …(2)
(2) − (1):
5d = 35 ⇒ d = 7
(1) से:
a + 10×7 = 38
a = −32
a₃₁ = a + 30d = −32 + 30×7 = 178
∴ 31वाँ पद = 178।
प्रश्न 7. दिए गए चित्र में DE ∥ AC तथा DF ∥ AE है।
सिद्ध कीजिए कि
BF / FE = BE / EC
हल:
क्योंकि DE ∥ AC है, अतः आधार समानुपात प्रमेय के अनुसार:
BF / FE = BE / EC
अतः सिद्ध हुआ।
क्योंकि DE ∥ AC है, अतः आधार समानुपात प्रमेय के अनुसार:
BF / FE = BE / EC
अतः सिद्ध हुआ।
प्रश्न 8. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें y-अक्ष
बिंदुओं (5, −6) तथा (−1, −4) को जोड़ने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है।
साथ ही प्रतिच्छेद बिंदु भी ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए बिंदु P रेखाखंड को m : n के अनुपात में विभाजित करता है।
x-निर्देशांक के लिए:
(m(−1) + n(5)) / (m + n) = 0
−m + 5n = 0 ⇒ m : n = 5 : 1
y-निर्देशांक:
= (5(−4) + 1(−6)) / 6 = −26/6 = −13/3
∴ अनुपात = 5 : 1 तथा बिंदु = (0, −13/3)
मान लीजिए बिंदु P रेखाखंड को m : n के अनुपात में विभाजित करता है।
x-निर्देशांक के लिए:
(m(−1) + n(5)) / (m + n) = 0
−m + 5n = 0 ⇒ m : n = 5 : 1
y-निर्देशांक:
= (5(−4) + 1(−6)) / 6 = −26/6 = −13/3
∴ अनुपात = 5 : 1 तथा बिंदु = (0, −13/3)
प्रश्न 9. यदि tan(A + B) = √3 तथा tan(A − B) = 1/√3,
जहाँ 0° < A + B ≤ 90° तथा A > B हो, तो A और B ज्ञात कीजिए।
हल:
tan(A + B) = √3 ⇒ A + B = 60°
tan(A − B) = 1/√3 ⇒ A − B = 30°
दोनों जोड़ने पर:
2A = 90° ⇒ A = 45°
B = 60° − 45° = 15°
∴ A = 45°, B = 15°
tan(A + B) = √3 ⇒ A + B = 60°
tan(A − B) = 1/√3 ⇒ A − B = 30°
दोनों जोड़ने पर:
2A = 90° ⇒ A = 45°
B = 60° − 45° = 15°
∴ A = 45°, B = 15°
प्रश्न 10. एक चतुर्भुज ABCD एक वृत्त को परिपरि घेरता है।
सिद्ध कीजिए कि
AB + CD = AD + BC
हल:
किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
AB = AD तथा BC = CD
∴ AB + CD = AD + BC
अतः सिद्ध हुआ।
किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
AB = AD तथा BC = CD
∴ AB + CD = AD + BC
अतः सिद्ध हुआ।
प्रश्न 11. 21 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा
केन्द्र पर 120° का कोण बनाती है।
वृत्त के संगत खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
त्रिज्या r = 21 सेमी, कोण θ = 120°
सेक्टर का क्षेत्रफल = (120/360) × π × 21² = 462 सेमी²
त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ r² sin120°
= ½ × 441 × (√3/2) = 441√3/4
खंड का क्षेत्रफल = सेक्टर का क्षेत्रफल − त्रिभुज का क्षेत्रफल
त्रिज्या r = 21 सेमी, कोण θ = 120°
सेक्टर का क्षेत्रफल = (120/360) × π × 21² = 462 सेमी²
त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ r² sin120°
= ½ × 441 × (√3/2) = 441√3/4
खंड का क्षेत्रफल = सेक्टर का क्षेत्रफल − त्रिभुज का क्षेत्रफल
प्रश्न 12. निम्नलिखित आवृत्ति वितरण का माध्य ज्ञात कीजिए:
x : 5, 6, 7, 8, 9, 10
f : 2, 8, 10, 7, 5, 3
x : 5, 6, 7, 8, 9, 10
f : 2, 8, 10, 7, 5, 3
हल:
Σf = 35
Σfx = 260
माध्य = Σfx / Σf = 260 / 35 = 7.43
Σf = 35
Σfx = 260
माध्य = Σfx / Σf = 260 / 35 = 7.43
प्रश्न 13. एक गुल्लक में 100 पचास पैसे के सिक्के,
50 एक रुपये के सिक्के, 20 दो रुपये के सिक्के तथा
10 पाँच रुपये के सिक्के हैं।
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया सिक्का
(i) 50 पैसे का हो
(ii) ₹5 का न हो।
हल:
कुल सिक्के = 100 + 50 + 20 + 10 = 180
(i) 50 पैसे का सिक्का = 100 / 180 = 5 / 9
(ii) ₹5 के अलावा सिक्के = 170
प्रायिकता = 170 / 180 = 17 / 18
कुल सिक्के = 100 + 50 + 20 + 10 = 180
(i) 50 पैसे का सिक्का = 100 / 180 = 5 / 9
(ii) ₹5 के अलावा सिक्के = 170
प्रायिकता = 170 / 180 = 17 / 18
प्रश्न 14. दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 27 तथा गुणनफल 182 है।
अथवा
समीकरण 3x² − 2x + 1 = 0 का विविक्तांक ज्ञात कीजिए तथा उसके मूलों की प्रकृति बताइए। यदि मूल वास्तविक हों तो उन्हें ज्ञात कीजिए।
अथवा
समीकरण 3x² − 2x + 1 = 0 का विविक्तांक ज्ञात कीजिए तथा उसके मूलों की प्रकृति बताइए। यदि मूल वास्तविक हों तो उन्हें ज्ञात कीजिए।
हल (प्रथम भाग):
मान लीजिए संख्याएँ x तथा y हैं।
x + y = 27 …(1)
xy = 182 …(2)
आवश्यक द्विघात समीकरण होगा:
t² − 27t + 182 = 0
(t − 13)(t − 14) = 0
∴ संख्याएँ 13 तथा 14 हैं।
अथवा
हल (द्वितीय भाग):
दिया गया समीकरण: 3x² − 2x + 1 = 0
विविक्तांक D = b² − 4ac
= (−2)² − 4×3×1
= 4 − 12 = −8
क्योंकि D < 0 है, अतः मूल वास्तविक नहीं हैं।
मान लीजिए संख्याएँ x तथा y हैं।
x + y = 27 …(1)
xy = 182 …(2)
आवश्यक द्विघात समीकरण होगा:
t² − 27t + 182 = 0
(t − 13)(t − 14) = 0
∴ संख्याएँ 13 तथा 14 हैं।
अथवा
हल (द्वितीय भाग):
दिया गया समीकरण: 3x² − 2x + 1 = 0
विविक्तांक D = b² − 4ac
= (−2)² − 4×3×1
= 4 − 12 = −8
क्योंकि D < 0 है, अतः मूल वास्तविक नहीं हैं।
प्रश्न 15. यदि बिन्दु A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) तथा D(p, 3)
इसी क्रम में एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं, तो p का मान ज्ञात कीजिए।
अथवा
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (1, 7), (4, 2), (−1, −1) तथा (−4, 4) एक वर्ग के शीर्ष हैं।
अथवा
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (1, 7), (4, 2), (−1, −1) तथा (−4, 4) एक वर्ग के शीर्ष हैं।
हल (प्रथम भाग):
समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
AC का मध्यबिन्दु = BD का मध्यबिन्दु
AC का मध्यबिन्दु = ((6+9)/2 , (1+4)/2) = (15/2 , 5/2)
BD का मध्यबिन्दु = ((8+p)/2 , (2+3)/2) = ((8+p)/2 , 5/2)
x-निर्देशांक बराबर करने पर:
(8 + p)/2 = 15/2
8 + p = 15
p = 7
समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
AC का मध्यबिन्दु = BD का मध्यबिन्दु
AC का मध्यबिन्दु = ((6+9)/2 , (1+4)/2) = (15/2 , 5/2)
BD का मध्यबिन्दु = ((8+p)/2 , (2+3)/2) = ((8+p)/2 , 5/2)
x-निर्देशांक बराबर करने पर:
(8 + p)/2 = 15/2
8 + p = 15
p = 7
प्रश्न 16. सिद्ध कीजिए कि:
(1 + sin A) / (1 − sin A) = sec A + tan A
(1 + sin A) / (1 − sin A) = sec A + tan A
हल (प्रथम सर्वसमिका):
LHS = (1 + sin A)/(1 − sin A)
अंश तथा हर में (1 + sin A) से गुणा करने पर:
= (1 + sin A)² / (1 − sin² A)
= (1 + sin A)² / cos² A
= (1/cos A + sin A/cos A)²
= (sec A + tan A)²
अतः LHS = RHS
सिद्ध हुआ।
LHS = (1 + sin A)/(1 − sin A)
अंश तथा हर में (1 + sin A) से गुणा करने पर:
= (1 + sin A)² / (1 − sin² A)
= (1 + sin A)² / cos² A
= (1/cos A + sin A/cos A)²
= (sec A + tan A)²
अतः LHS = RHS
सिद्ध हुआ।
प्रश्न 17. निम्नलिखित आवृत्ति वितरण की माध्यिका ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | आवृत्ति |
|---|---|
| 1 – 4 | 6 |
| 4 – 7 | 30 |
| 7 – 10 | 40 |
| 10 – 13 | 16 |
| 13 – 16 | 4 |
| 16 – 19 | 4 |
कुल आवृत्ति N = 100
N/2 = 50
माध्यिका वर्ग = 7–10
माध्यिका = l + [(N/2 − cf)/f] × h
= 7 + [(50 − 36)/40] × 3
= 7 + (14/40) × 3
= 8.05
N/2 = 50
माध्यिका वर्ग = 7–10
माध्यिका = l + [(N/2 − cf)/f] × h
= 7 + [(50 − 36)/40] × 3
= 7 + (14/40) × 3
= 8.05
प्रश्न 18. भूमि पर स्थित एक बिन्दु से 20 मीटर ऊँची इमारत के ऊपर लगे
संचरण टॉवर के निचले तथा ऊपरी सिरों के उन्नयन कोण क्रमशः 45° तथा 60° हैं।
टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए टॉवर की ऊँचाई h मीटर है।
tan 45° = 20/x ⇒ x = 20
tan 60° = (20 + h)/x = √3
20 + h = 20√3
h = 20(√3 − 1) मीटर।
tan 45° = 20/x ⇒ x = 20
tan 60° = (20 + h)/x = √3
20 + h = 20√3
h = 20(√3 − 1) मीटर।
प्रश्न 19. 120 सेमी ऊँचाई तथा 60 सेमी त्रिज्या वाले
समवृत्त शंकु को 60 सेमी त्रिज्या वाले अर्धगोले पर रखकर
60 सेमी त्रिज्या तथा 180 सेमी ऊँचाई वाले जल से भरे बेलन में सीधा रखा गया है।
यदि ठोस तल को स्पर्श करता है, तो बेलन में शेष जल का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल (प्रथम भाग):
बेलन का आयतन = πr²h = π×60²×180
शंकु का आयतन = (1/3)π×60²×120
अर्धगोले का आयतन = (2/3)π×60³
शेष जल का आयतन = बेलन का आयतन − (शंकु + अर्धगोला)
बेलन का आयतन = πr²h = π×60²×180
शंकु का आयतन = (1/3)π×60²×120
अर्धगोले का आयतन = (2/3)π×60³
शेष जल का आयतन = बेलन का आयतन − (शंकु + अर्धगोला)
प्रश्न 20. निम्नलिखित वितरण का बहुलक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | आवृत्ति |
|---|---|
| 2 – 11 | 15 |
| 11 – 20 | 16 |
| 20 – 29 | 17 |
| 29 – 38 | 12 |
| 38 – 47 | 11 |
बहुलक वर्ग = 20–29
बहुलक = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h
= 20 + [(17 − 16)/(34 − 16 − 12)] × 9
= 21.5
बहुलक = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h
= 20 + [(17 − 16)/(34 − 16 − 12)] × 9
= 21.5